1. 实验与观察：函数的可视化

1.1 Matlab二维绘图命令

1. 周期函数与线性－周期函数

观察：

clf, x=linspace(0,8*pi,100);  
F=inline(&39;sin(x+cos(x+sin(x)))&39;);  
y1=sin(x+cos(x+sin(x)));   y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x)));  
plot(x,y1,&39;k:&39;,x,y2,&39;k-&39;)  legend(&39;sin(x+cos(x+sin(x))&39;,&39;0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))&39;,2)

2. plot指令：绘制直角坐标的二维曲线

3. 图形的属性设置和屏幕控制

h=plot(\[0:0.1:2\*pi\],sin(\[0:0.1:2\*pi\])); grid on  
set(h,&39;LineWidth&39;,5,&39;color&39;,&39;red&39;); set(gca,&39;GridLineStyle&39;,&39;-&39;,&39;fontsize&39;,16)

设置y坐标的刻度并加以说明，并改变字体的大小。

h=plot(\[0:0.1:2\*pi\],sin(\[0:0.1:2\*pi\]));grid on，  
set(gca,&39;ytick&39;,\[-1 -0.5 0 0.5 1\]),  set(gca,&39;yticklabel&39;,&39;a|b|c|d|e&39;),  
set(gca,&39;fontsize&39;,20)

4. 文字标注指令

plot(x,y1,&39;b&39;,x,y2,&39;k-&39;) ,  
set(gca,&39;fontsize&39;,15,&39;fontname&39;,&39;times New Roman&39;),  %设置轴对象的字体为times New Roman，字体的大小为15  
title(&39; \it{Peroid and linear peroid function}&39;);     
%加标题，注意文字用单引号&39; &39;加上斜杠&39;\&39;后可输入不同的设置，例如it{…}表示花括号里的文字为斜体；如果有多项设置，则可用\…\…\…连续输入。  
xlabel(&39;x from 0 to 8*pi it{t}\&39;); ylabel(&39;\it{y}&39;);   %说明坐标轴  
text(x(49),y1(50)-0.4,&39;\fontsize{15}\bullet\leftarrowThe period function {\itf(x)}&39;);
%在坐标(x(49),y1(50)-0.4）处作文字说明， 各项设置用&34;\&34;隔开。  
%\fontsize{15}\bullet\leftarrow的意义依次是：\字体大小=15 \ 画圆点 \左箭头  
text(x(14),y2(50)+1,&39;\fontsize{15}The linear period  function {\itg(x)}\rightarrow\bullet&39;)   %与上一语句类似，用右箭头

图1 文字标注

观察指令legend和num2str的用法：在同一张图上画出，这里, 并进行适当的标注。

zxy2_2.m

clf, t=0:0.1:3\*pi;alpha=0:0.1:3\*pi;  
plot(t,sin(t),&39;r-&39;);hold on;  plot(alpha,3\*exp(-0.5\*alpha),&39;k:&39;);  
set(gca,&39;fontsize&39;,15,&39;fontname&39;,&39;times New Roman&39;),      
xlabel(&39;\it{t(deg)}&39;);ylabel(&39;\it{magnitude}&39;);  
title(&39; \it{sine wave and {\it{Ae}}^{-\alpha{\itt}}wave}&39;);  %注意\alpha的意义  
text(6,sin(6),&39;\fontsize{15}The Value \it{sin(t)} at {\itt}=6\rightarrow\bullet&39;, &39;HorizontalAlignment&39;,&39;right&39;),  
%上面的语句是一整行，如果要写成两行，必须使用续行号 … ，例如要在“ bullet&39;,”  
%后换行，需写“bullet&39;, …”后才能换行。  
% &39;HorizontalAlignment&39;,&39;right&39; 表示箭头所指的曲线对象在 文字的右边。  
text(2,3*exp(-0.5\*2),[&39;\fontsize{15}\bullet\leftarrow The Value of \it{3e}^{-0.5 \it{t}}=&39;,num2str(3*exp(-0.5*2)),&39; at \it{t} =2 &39;]);  
%num2str的用法：[&39;string1&39;,num2str,&39;string2&39;]，注意方括号的使用。  
%legend(&39;\itsin(t)&39;,&39;{\itAe}^{-\alphat}&39;)   % 请结合图形观察此命令的使用

5. 图形窗口的创建和分割

观察：

clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50);  
for k =1:9  
y=sin(k*x);  
subplot(3,3,k),plot(x,y),axis([0,2*pi,-1,1])  
end

1.2多元函数的可视化与空间解析几何（三维图形）

本节通过高等数学的几个例子观察Matlab的三维绘图功能和技巧。

1. 绘制二元函数

◆ 观察：绘制的图象，作定义域的裁剪。

◆ (1) 观察meshgrid指令的效果。

a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;  
x=linspace(a,b,n); y=linspace(c,d,n);  
[X,Y]=meshgrid(x,y);  
plot(X,Y,&39;+&39;)

◆ 三维绘图指令mesh、meshc、surf。

◆ (2) 做函数的定义域裁剪，观察上述三维绘图指令的效果。

程序zxy2_4.m

clear,clf,  
a=-1;b=1;c=-15;d=15;n=20;eps1=0.01;  
x=linspace(a,b,n);y=linspace(c,d,n);  
[X,Y]=meshgrid(x,y);  
for i=1:n             %计算函数值z ，并作定义域裁剪  
for j=1:n  
if (1-X(i,j))<eps1|X(i,j)-Y(i,j)<eps1  %if语句这样用  
z(i,j)=NaN;                         %作定义域裁剪，定义域以外的函数值为NaN  
else  
z(i,j)=1000*sqrt(1-X(i,j))^-1.*log(X(i,j)-Y(i,j));   
end  
end  
end                   
zz=-20*ones(1,n);plot3(x,x,zz),grid off,hold on   %画定义域的边界线  
mesh(X,Y,z)               %绘图，读者可用meshz, surf, meshc在此替换之
xlabel(&39;x&39;),ylabel(&39;y&39;),zlabel(&39;z&39;), box on    %把三维图形封闭在箱体里

运行了zxy2_4.m 以后，有关向量存储在工作空间中，在此基础上，观察上述等值线绘制指令的运行效果。

[cs,h]=contour(X,Y,z,15);  clabel(cs,h,&39;labelspacing&39;,244)

2. 三元函数可视化: slice指令

◆ 观察：绘制三元函数 的可视化图形。

clf,x=linspace(-2,2,40); y=x; z=x;  
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); w=X.^2+Y.^2+Z.^2;  
slice(X,Y,Z,w,[-1,0,1],[-1,0,1],[-1,0,1]),colorbar

3. 空间曲线及其运动方向的表现：plot3和quiver指令

clf,  t=0:0.1:1.5;  
Vx=2*t;Vy=2*t.^2;Vz=6*t.^3-t.^2;  
x=t.^2;y=(2/3)*t.^3;z=(6/4)*t.^4-(1/3)*t.^3;  %由速度得到曲线  
plot3(x,y,z,&39;r.-&39;),hold on                    %画飞行轨迹  
%算数值梯度，也就是重新计算数值速度矢量，这只是为了编程的方便，不是必须的  
Vx=gradient(x);Vy=gradient(y);Vz=gradient(z);  
quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz),grid on   %画速度矢量图  
xlabel(&39;x&39;),ylabel(&39;y&39;),zlabel(&39;z&39;)

图2 飞机的飞行轨迹与方向

2应用、思考和练习

2.1 线性周期函数

zxy2_3_f.m

function f=zxy2_3_f(x)  
f=sin(x+cos(x));

zxy2_3.m

clear，clf  
a=-8;b=12;n=300;xx=linspace(a,b,n);  
h=zxy2_3_f(xx);  
S(1)=0;  
for i=2:n  
S(i)=S(i-1)+quad(&39;zxy2_3_f&39;,xx(i-1),xx(i));  
end  
subplot(1,2,1),plot(xx,S,&39;k-&39;),axis([a,b,-1.5,9])  
subplot(1,2,2),plot(xx,[h;zeros(1,length(xx))],&39;k-&39;),axis([a,b,-1.5,1.5])

2.2 平面截割法和曲面交线的绘制

◆ 用平行截面法讨论由曲面构成的马鞍面形状。

zxy2_6.m (平行截割法示例，本程序的绘制两曲面交线方法可以套用)

clf, a=-20;eps0=1;  
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);  %生成平面网格  
v=[-10 10 -10 10 -100 100];  %设定空间坐标系的范围  
colormap(gray)               %将当前的颜色设置为灰色  
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps;        %计算马鞍面函数z1=z1(x,y)  
z2=a*ones(size(x));          %计算平面 z2=z2(x,y)  
r0=abs(z1-z2)<=eps0;  
%计算一个和z1同维的函数r0,当abs(z1-z2)<=eps时r0 =1；当abs(z1-z2)>eps0时，r0 =0。  
%可用mesh(x,y,r0)语句观察它的图形，体会它的作用，该方法可以套用。  
zz=r0.*z2;xx=r0.*x;yy=r0.*y;   %计算截割的双曲线及其对应的坐标  
subplot(2,2,2),                %在第2图形窗口绘制双曲线  
h1=plot3(xx(r0?=0),yy(r0?=0),zz(r0?=0),&39;+&39;);            
set(h1,&39;markersize&39;,2),hold on,axis(v),grid on  
subplot(2,2,1),                %在第一图形窗口绘制马鞍面和平面  
mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);             
h2=plot3(xx(r0?=0),yy(r0?=0),zz(r0?=0),&39;.&39;);   %画出二者的交线  
set(h2,&39;markersize&39;,6),hold on,axis(v),  
for i=1:5           %以下程序和上面是类似的，通过循环绘制一系列的平面去截割马鞍面  
a=70-i*30;         %在这里改变截割平面  
z2=a*ones(size(x)); r0=abs(z1-z2)<=1;  zz=r0.*z2;yy=r0.*y;xx=r0.*x;  
subplot(2,2,3),  
mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);hidden off  
h2=plot3(xx(r0?=0),yy(r0?=0),zz(r0?=0),&39;.&39;); axis(v),grid  
subplot(2,2,4),  
h4=plot3(xx(r0?=0),yy(r0?=0),zz(r0?=0),&39;o&39;);  
set(h4,&39;markersize&39;,2),hold on,axis(v),grid on  
end

2.3 微分方程的斜率场

◆ 绘制微分方程 的斜率场，并将解曲线画在图中，观察斜率场和解曲线的关系。

zxy2_5.m (绘制一阶微分方程的斜率场和解曲线)

clf,clear    %清除当前所有图形窗口的图像，清除当前工作空间的内存变量。  
a=0;b=4;c=0;d=4;n=15;  
[X,Y]=meshgrid(linspace(a,b,n),linspace(c,d,n));   %生成区域中的网格。  
z=X.*Y;                                            %计算斜率函数。   
Fx=cos(atan(X.*Y));Fy=sqrt(1-Fx.^2);  %计算切线斜率矢量。  
quiver(X,Y,Fx,Fy,0.5),hold on,axis([a,b,c,d])  
%在每一网格点画出相应的斜率矢量，0.5是控制矢量大小的控制参数，可以调整。  
[x,y]=ode45(&39;zxy2_5f&39;,[0,4],0.4);    %求解微分方程。  
%zxy2_5f.m是方程相应函数f(x,y)的程序，单独编制；[x0,xs]=[0,4]为求解区间；  
%y0=0.4为初始值；输出变量x,y分别为解轨线自变量和因变量数组。  
plot(x,y,&39;r.-&39;)   %画解轨线

zxy2_5f.m (微分方程的函数子程序)

function dy=zxy2_5f(x,y)  
dy=x.*y;

2.4 颜色控制和渲染及特殊绘图指令

1. 地球表面的气温分布（sphere指令）

[a,b,c]=sphere(40);t=max(max(abs(c)))-abs(c);surf(a,b,c,t);  
axis(&39;equal&39;),colormap(&39;hot&39;), shading flat,colorbar

2. 旋转曲面的生成：柱面指令cylinder和光照控制指令surfl

x=0:0.1:10;z=x;y=1./(x.^3-2.*x+4);  
[u,v,w]=cylinder(y);surfl(u,v,w,[45,45]);  
shading interp

3. 若干特殊图形

◆ 运行下面程序，了解各指令的用法和效果。

x=[1:10]; y=[5 6 3 4 8 1 10 3 5 6];  
subplot(2,3,1),bar(x,y),axis([1 10 1 11])  
subplot(2,3,2),hist(y,x),axis([1 10 1 4])  
subplot(2,3,3),stem(x,y,&39;k&39;),axis([1 10 1 11])  
subplot(2,3,4),stairs(x,y,&39;k&39;),axis([1 10 1 11])  
subplot(2,3,5), x = [1 3 0.5 5];explode = [0 0 0 1];pie(x,explode)  
subplot(2,3,6),z=0:0.1:100; x=sin(z);y=cos(z).*10;  
comet3(x,y,z)