点到直线距离公式 点到平面之间的距离公式
时间：2023-06-18 13:00/span>
作者：tiger
分类：
新知
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故事开始于《不等式选讲》中柯西不等式的练习题。
既然是柯西不等式的练习题，当然按照柯西不等式来拼凑。
搞定！So easy
不过，这个题目具有太强烈的视觉冲击力了，和我们曾经做过的某一类题目极其相似。比如
我们可以将其看成点(a,b)到点(1,-2)的距离，而点(a,b)则是直线x+y=4上的点，
因此，本题实际上是求点(1,-2)到直线x+y=4的距离的平方
于是我们代入公式
无非是从二维变成三维而已。
根据类比的经验，我们猜：
用这个猜测出来的公式来解一开始提出的问题试试？
解：点(1,-2,3)到平面2x+2y+z-8=0的距离为
哇塞，居然比柯西不等式还简单方便！
应付考试的数学到此为止，以下我们不妨探讨一下这个解法的背后，还有什么样的结论。
我们要解决几个问题。
第一、在空间中，平面的方程是什么？
第二、在空间中，点到平面的距离公式是什么？
是不是我们猜测的那个样子，虽然我的数学直觉告诉我，没错，但是需要证明。
哇塞，这个公式似乎很好用哦。平面的方程居然只是简单的三元一次方程而已。
第二个问题，点到平面的距离公式。
证明完毕，其实很简单的证明，我相信高中学生多半能看懂。
有了这两个公式，立体几何的很多问题其实可以很简单计算，尤其是求二面角和求距离问题。对吗？
（1）证：略。
（2）取AD中点F，则
由PA=PD，得PF⊥AD，所以PF⊥面ABCD
由AB⊥面PAD，得AB⊥AD
以F为原点建立坐标系，设AD=2则